الذكاء الاصطناعي الرياضي يساعد الباحثين على حل مشكلة عمرها 50 عامًا

بعد أسبوع واحد فقط من دحض الذكاء الاصطناعي تخمينًا عمره 80 عامًا وأذهل علماء الرياضيات، سقط تخمين آخر كان قائمًا لمدة نصف قرن، مستوحى من نفس التقنيات، ولكن هذه المرة كتبه البشر بالكامل.

في الأسبوع الماضي، دحض نموذج ذكاء اصطناعي من شركة OpenAI لم يُنشر بعد، تخمينًا مهمًا طرحه لأول مرة عالم الرياضيات المجري بول إردوس، والذي يُطلق عليه مشكلة مسافة الوحدة. اللغز، الذي اعتبره إردوس “مساهمته الأكثر إثارة للدهشة في الهندسة” والذي فشل العديد من علماء الرياضيات في حله، يتعلق بعدد الروابط ذات الحجم المماثل التي يمكنك إجراؤها بين النقاط المرتبة على سطح مستو.

وقد وضع إردوس سقفًا أعلى لهذا الرقم، وهو ما افترض العديد من الخبراء أنه صحيح. لكن نموذج الذكاء الاصطناعي أظهر أن هذا الرقم يمكن أن يكون في الواقع أكبر بكثير، وذلك باستخدام خدعة غامضة من نظرية الأعداد الجبرية لإنشاء هياكل معقدة ذات أبعاد عالية للغاية، والتي يمكن استخدامها بعد ذلك لترتيب النقاط بترتيب مختلف تمامًا عما تصوره البشر. وقد فاجأت النتيجة علماء الرياضيات، حيث لم يتوقع البعض أن يروا دحض تخمين إردوس خلال حياتهم.

الآن، وبعد أقل من أسبوع، استخدم توماس بلوم وزملاؤه من جامعة مانشستر بالمملكة المتحدة حجة مماثلة لدحض ادعاء مشهور آخر، طرحه إردوس لأول مرة في عام 1976، ويُسمى حدسية مجموع حاصل الضرب.

يقول بلوم: “لقد كانت مفاجأة لأنني فكرت في المشكلة كثيرًا”. بعد رؤية الخدعة التي يستخدمها الذكاء الاصطناعي الخاص بشركة OpenAI، والتي تستخدم نظرية الأعداد لحل مشكلة هندسية، أدرك بلوم وفريقه أنه يمكنهم تجربة نفس الشيء فيما يتعلق بحدسية مجموع حاصل الضرب. ويقول: “بمجرد أن تعرف أن شيئًا ما قد يكون ممكنًا، تكون على استعداد لبذل جهد أكبر لإنجازه فعليًا”.

إردوس مجموع المنتج يتعلق التخمين بمجموعات من الأرقام أو المجموعات. ينص على أنه إذا قمت بإضافة أو ضرب جميع الأرقام معًا في هذه المجموعة، زوجًا واحدًا في كل مرة، لإنشاء مجموعتين أخريين، فيجب أن تكون إحدى هذه المجموعات على الأقل أكبر بكثير من المجموعة الأصلية – لا يمكنك الحصول على كلتا المجموعتين صغيرتين بالمثل. على سبيل المثال، إذا قمت بضرب جميع الأرقام من 1 إلى 5، فستكون لديك مجموعة أكبر مما إذا قمت بإضافتها جميعًا، لأنه ستكون هناك نتائج مكررة، مثل 2+3 و1+4. بالنظر إلى مجموعة مختلفة، مثل 1 و2 و4 و8 و16، فإن المجموعة المضافة ستكون أكبر، لأن المجموعة المضروبة تحتوي فقط على قوى مختلفة لاثنين.

وضع إردوس معيارًا لمدى صغر حجم المجموعة الأكبر من المجموعتين المضافة والمضروبة، وتوقع أن هذا يجب أن ينطبق على أي مجموعة من الأرقام. لكن بلوم وزملائه استخدموا نفس الخدعة عالية الأبعاد للعثور على مجموعة يكون مجموعها ومضروبها أصغر مما اعتقد إردوس أنه ممكن. بدلاً من استخدام متتالية هندسية للأرقام، مثل قوى العدد اثنين، يمكنك إنشاء سلسلة متتالية من الأرقام في العديد من الأبعاد المختلفة في نفس الوقت، والتي وجدوا أنها تنتج مجموعة يكون فيها عدد المجاميع المختلفة التي يمكنك تكوينها أصغر بكثير.

يقول بلوم: “كانت المفاجأة الحقيقية بالنسبة لي هي أن الأمر كان بهذه البساطة”. “إن وصف البناء سهل للغاية ونحن نفهم الآن السبب الحقيقي وراء ذلك [Erdős’s conjecture] يفشل، الأمر الذي من شأنه أن يساعدنا في حل الكثير من المشكلات الأخرى ذات الصلة أيضًا.

يقول ميشا رودنيف من جامعة بريستول بالمملكة المتحدة: “هذا أمر طبيعي بالنسبة للرياضيات باعتبارها رياضة تنافسية”. “بمجرد ظهور فكرة جديدة، يكون بعض الأشخاص على استعداد للعمل لمدة أربع وعشرين ساعة للعثور على المزيد من التطبيقات لها، وعادة ما يكون هؤلاء الأشخاص جيدين جدًا وسريعين.”

يقول رودنيف إن حدس إردوس الأصلي كان أن هذا التخمين يجب أن يكون صحيحًا بشكل أساسي بالنسبة للأعداد الصحيحة، أو الأعداد الصحيحة، ولا يزال هذا يبدو صحيحًا، لأن المجموعة التي عثر عليها بلوم وفريقه استخدمت أنظمة أرقام غريبة تصبح أكثر تعقيدًا مع نمو مجموعاتها بشكل أكبر. ويوافق بلوم على أن التخمين لا يزال ينطبق على الأعداد الصحيحة، وأنه “لا يزال هناك قدر كبير من العمل الذي يتعين علينا القيام به؛ فنحن لا نفهم حقًا ما الذي يحدث”.

الفكرة الرئيسية من الدليل هي أن المشكلات التي تبدو هندسية، مثل مجموعات القوى التربيعية للعدد اثنين، يمكن معالجتها في الواقع باستخدام أدوات من نظرية الأعداد، كما يقول بلوم. “إنه يفتح هذه المشكلات بالفعل أمام مجتمع جديد تمامًا أيضًا. لم يكن الأشخاص المعنيون بنظرية الأعداد الجبرية يتعاملون حقًا مع هذه الأسئلة.”