سر التخمين بشكل أكثر دقة مع الرياضيات

لنفترض أنني عرضت عليك صندوقًا وطلبت منك تخمين ما بداخله، دون تقديم أي تفاصيل أخرى. قد تظن أن هذا مستحيل تمامًا، لكن طبيعة الحاوية توفر بعض المعلومات – يجب أن تكون المحتويات أصغر من الصندوق، على سبيل المثال، بينما يمكن للصندوق المعدني الصلب أن يحمل السوائل ويتحمل درجات الحرارة التي قد يواجهها صندوق من الورق المقوى.

هل هناك طريقة لوصف عملية التخمين هذه بمعلومات محدودة بطريقة معقولة رياضيا؟ من الواضح أن هناك بعض الأشياء التي لا يمكن تخمينها بشكل موثوق – رمي العملة المعدنية، أو رمي النرد – ونحن نسميها عشوائية. ولكن بالنسبة لكل شيء آخر، يمكن لبعض الأدوات المفيدة أن تجعلك أفضل كثيرًا في تقييد تخميناتك، بدلاً من اختيار إجابة من الأثير.

إن التخمين المقيد هو في الواقع تقدير، وله تاريخ طويل. ولعل المثال المبكر الأكثر إثارة للإعجاب هو مثال الفيلسوف اليوناني القديم إراتوستينس، الذي عاش في الإسكندرية، مصر، في القرن الثالث قبل الميلاد. ومن خلال بعض الأفكار البسيطة، تمكن من تقدير محيط الأرض بدقة مذهلة. إن طريقته الدقيقة مفقودة، ولكن يمكننا إعادة بنائها بفضل النصوص المكتوبة بعد عمله.

في الأساس، عرف إراتوستينس أنه عند الظهر في الانقلاب الصيفي، تبدو الشمس وكأنها تعلو مباشرة في مدينة أسوان القديمة، ولا تلقي بظلالها على البئر. وفي الوقت نفسه، في نفس اليوم والوقت في الإسكندرية، ألقى قضيب عمودي ظلًا بزاوية تبلغ حوالي 7 درجات، أو حوالي 1/50 من الدائرة. كان يعلم أن المسافة بين المدينتين كانت 5000 ستاديا، وهي وحدة طول، لذلك قدر أن محيط الأرض الكامل يجب أن يكون 50 ضعف هذا، أو 250000 ستاديا.

قام إراتوستينس ببعض التقديرات التقريبية حول الهندسة هنا، لكن يمكننا تجاهل ذلك. الأمر الأكثر صعوبة هو أننا لا نعرف القيمة الحقيقية للملعب. ويُعتقد أن إراتوستينس كان يستخدم شيئًا يعادل تقريبًا 160 مترًا. وهذا يعطينا محيطًا يساوي 160*250000 = 40000 كيلومتر، وهو قريب بشكل ملحوظ من القياس الحديث البالغ 40075 كيلومترًا. بالطبع، القيم المختلفة للملعب (تتراوح من 150 إلى 210 مترًا) تعطيك إجابة مختلفة ومستوى مختلفًا من الدقة، اعتمادًا على مدى كرمنا مع إراتوستينس.

النقطة المهمة هنا هي أن بعض الحسابات البسيطة ولكن المعقولة يمكن أن تمنحك تخمينًا قويًا للغاية – قياس الكوكب دون الحاجة إلى الدوران حوله. كان سيد هذا الأمر في القرن العشرين هو الفيزيائي إنريكو فيرمي، الذي بنى أول مفاعل نووي على الإطلاق ولعب دورًا رئيسيًا في مشروع مانهاتن الأمريكي لتطوير قنبلة ذرية. لقد كان حاضراً عند التفجير الأول لمثل هذا السلاح، وهو اختبار ترينيتي، وحاول تقدير قوة الانفجار ــ ولم يكن أحد متأكداً تماماً من ماهيته ــ وذلك بإسقاط قطع صغيرة من الورق ومراقبة كيفية تحركها بفعل الانفجار. مثل إراتوستينس، لم يتم تسجيل أسلوبه الدقيق أبدًا، لكن تقديره أنها كانت قنبلة بقوة 10 كيلو طن هو حوالي نصف القيمة الحقيقية البالغة 21 كيلو طن المقبولة لعائد ترينيتي اليوم. هذا ليس مثاليًا، لكنه على الأقل في الملعب الصحيح.

في الواقع، كان الهبوط في الملعب الصحيح نوعًا من سخرية فيرمي، فقد أحب هذا النوع من التقديرات غير التقليدية، لدرجة أنها تُعرف الآن باسم مسائل فيرمي. المثال الكلاسيكي هو التحدي الذي سيطرحه على الطلاب: تقدير عدد ضبطي البيانو الموجودين في مدينة شيكاغو. بدءًا من سكان شيكاغو (حوالي 3 ملايين نسمة)، يمكننا أن نفترض أن الأسرة المتوسطة بها أربعة أشخاص، أي أن هناك 750 ألف أسرة. إذا كان واحد من كل خمسة يمتلك بيانو، فهناك 150 ألف بيانو في شيكاغو. إذا افترضنا أن عازف البيانو يمكنه العمل على أربعة آلات بيانو في كل يوم من أيام الأسبوع، فيمكنه الوصول إلى حوالي 1000 وحدة سنويًا. لذا، إذا تمت صيانة 150.000 بيانو سنويًا، فيجب أن يكون هناك 150 ضبطًا للبيانو في شيكاغو.

ليس المقصود من هذا التقدير أنه صحيح، بل أنه محدود في عدم صحته. لقد وضعنا عددًا من الافتراضات على طول الطريق – ولكن نظرًا لأن بعضها سيكون مبالغًا فيه في حين أن البعض الآخر سيكون أقل من الواقع، وبافتراض عدم وجود تحيز في اتجاه واحد، فمن المرجح أن تكون الأخطاء مقيدة. إذا أشارت حساباتنا إلى وجود مليون من عازفي البيانو في شيكاغو، على سبيل المثال، فمن الممكن أن تكون على يقين من أن هذا خطأ.

في حين أن تقدير فيرمي يعد أسلوبًا قويًا للتخمينات الأولية، إلا أننا أحيانًا نجمع معلومات جديدة يمكن أن تساعدنا في تحسين إجابتنا الأولى. دعنا نعود إلى مثال المربع الذي بدأت به. إذا قمت بسحب كرة زرقاء عليها الرقم 32 من الصندوق، فهل سيغير ذلك تخمينك بشأن محتوياتها؟ قد تفترض وجود كرات أخرى داخل الصندوق، وأن بعضها أزرق اللون، وبعضها الآخر به أرقام – ولكن هل هناك طريقة لقياس ذلك؟ نعم، وذلك بفضل توماس بايز، الإحصائي وقس الكنيسة في القرن الثامن عشر.

وكانت رؤية بايز المذهلة تتلخص في قلب الاحتمالية رأساً على عقب، وتحويلها من أداة لفهم العشوائية ــ مثل نتيجة رمي العملة المعدنية ــ إلى إطار لقياس ومراجعة عدم اليقين. لقد وضع معادلة، نظرية بايز، لتحويل الملاحظات إلى أدلة. وهو يتألف من أربعة أجزاء: السابق، والدليل، والاحتمال، واللاحق. اسمحوا لي أن أشرح كل على حدة.

السابق هو افتراضنا الأساسي. لنتخيل أنني أقدم ثلاث نكهات من الآيس كريم في إحدى الحفلات (الشوكولاتة والفراولة والفانيليا)، وأريد أن أعرف أيها سيكون الأكثر شعبية حتى أتأكد من تخزينها. الافتراض الأساسي المعقول هو أن تفضيلات النكهة موزعة بشكل موحد بين الناس، حيث يحب ثلث السكان كل نكهة. ولكن بعد ذلك تبدأ الحفلة، وبدأت أشعر بالتوتر. أول 10 أشخاص تناولوا الشوكولاتة – وهذا دليلي.

وهنا يصبح الأمر معقدًا بعض الشيء. لتحديد الاحتمالية، لا بد لي من إلقاء نظرة على افتراضاتي الأصلية. إذا كانت تفضيلات النكهة متساوية بالفعل، فما هي فرص رؤية 10 قطع شوكولاتة على التوالي؟ الإجابة هي (1/3)^10، أو حوالي 1 من 60.000. هذا غير مرجح إلى حد كبير، مما يشير إلى أن افتراضي الأصلي ربما يكون خاطئًا، وأحتاج إلى تحديثه لافتراض تفضيل أعلى بكثير للشوكولاتة، والذي بدوره سيعطينا احتمالية أكبر لرؤية الأدلة المرصودة. هذا التحديث يعطينا الخلفية.

وتبين أن هذه النظرية قوية للغاية. بالعودة إلى مثال الصندوق الخاص بي: الكرة الأولى التي قمت بسحبها تحد بشكل كبير من إمكانيات ما بداخلها. إذا قمت بسحب كرة أخرى، هذه الكرة باللون الأحمر وعليها علامة “50”، فإن ذلك يقيد الاحتمالات بشكل أكبر – أنت تعرف الآن أن هناك لونين على الأقل من الكرة، وإذا افترضت أنهما مرقمة بشكل موحد بالترتيب، فمن المحتمل أن تكون كميتهما الإجمالية صغيرة (أقل من 100) وليست كبيرة (أكثر من مليون). تمنحك كل كرة أقوم بسحبها المزيد من الأدلة، والتي يمكنك استخدامها لتحديث معلوماتك السابقة في كل مرة.

أحد الأماكن التي قد تكون واجهت فيها نظرية بايز دون أن تعرفها هو صندوق البريد الإلكتروني الخاص بك. استخدمت مرشحات البريد العشوائي الأقدم المنطق الافتراضي، على افتراض أن نسبة معينة من رسائل البريد الإلكتروني هي رسائل غير مرغوب فيها (السابقة)، ثم باستخدام رسائل البريد الإلكتروني التي قمت أنت ومزود الخدمة الخاص بك بوضع علامة عليها كرسائل غير مرغوب فيها (الدليل) بالإضافة إلى فرصة ظهور كلمات وعبارات معينة في رسائل البريد الإلكتروني العشوائية (الاحتمالية) لمعرفة رسائل البريد الإلكتروني التي هي بالفعل رسائل غير مرغوب فيها (الخلفية).

توضح تصفية البريد العشوائي السبب وراء كون التخمين ليس خدعة رياضية باستخدام الصناديق، ولكنه ذو صلة بالعالم الحقيقي. وتسخير هذه التقنيات – تقدير فيرمي والتفكير البايزي – أصبح أكثر أهمية من أي وقت مضى في عالم من الذكاء الاصطناعي المطابق للأنماط مثل ChatGPT. كما كتبت مؤخرًا، فإن الطريقة التي يتم بها بناء أنظمة الذكاء الاصطناعي الحديثة تعني أنها غالبًا ما تسعى إلى تأكيد أسبقياتك بدلاً من تحديثها أو تحديها، والمطابقة مع الأنماط الحالية دون النظر بشكل كامل في الأدلة الجديدة التي لا تناسبك. لا تدع الذكاء الاصطناعي يخمن بشكل غير صحيح – تعلم كيفية القيام بذلك بشكل صحيح بنفسك.