ميم الرياضيات التي كانت تشتت انتباه علماء الرياضيات لمدة قرن من الزمان

منذ ما يقرب من قرن من الزمان، توصل عالم رياضيات إلى لغز كان يبدو بسيطًا جدًا ولكنه في نفس الوقت صعب للغاية لدرجة أنه كان يشتت انتباه علماء الرياضيات الآخرين منذ ذلك الحين. لقد أصبحت ميمًا تقفز من عقل إلى عقل، حيث يدعي العديد من الأشخاص أنهم تمكنوا من حلها، فقط لتتبدد آمالهم عندما ينكشف الدليل. وكن حذرًا – بمجرد أن أشرح القواعد، سوف ترغب على الفور في البدء في اللعب بها بنفسك، ولا أتحمل أي مسؤولية عن مقدار الوقت الذي تضيعه من وقتك.

يبدأ الأمر أشبه بخدعة سحرية. اختر رقمًا، أي رقم – حسنًا، على الأقل أي رقم صحيح موجب؛ لا تحاول أن تصبح ذكيًا بشيء مثل pi. إذا كان رقمًا زوجيًا، فاقسمه على 2. وإذا كان رقمًا فرديًا، فاضربه في 3 وأضف 1. وبعد ذلك، قم بتطبيق نفس القواعد على الرقم الناتج. افعل ذلك لفترة كافية، وسوف ينتهي بك الأمر دائمًا عند 1.

أو على الأقل، يعتقد علماء الرياضيات أنك ستفعل ذلك. ما إذا كان هذا صحيحًا بالنسبة لكل عدد صحيح موجب محتمل هو سؤال مفتوح يسمى حدسية كولاتز، والذي سمي على اسم لوثار كولاتز، الذي بحث في هذا السؤال لأول مرة في ثلاثينيات القرن العشرين. والمثير للدهشة أن هذا سؤال يصعب الإجابة عليه حقًا. في الواقع، قال بول إردوس، أحد أكثر علماء الرياضيات إنتاجًا في القرن العشرين، ذات مرة: “قد لا تكون الرياضيات جاهزة لمثل هذه المشكلات”.

فلماذا يصعب إثبات حدسية كولاتز؟ إذا كنت مثلي، فعندما تسمع عن هذه المشكلة لأول مرة، ستلجأ على الفور إلى الآلة الحاسبة الخاصة بك وتبدأ في معالجة الأرقام لمعرفة ما إذا كنت ستصل إلى الرقم 1. في الواقع، استخدم علماء الرياضيات أجهزة الكمبيوتر للتحقق من كل رقم حتى 2.⁷¹. لسوء الحظ، يترك هذا عددًا لا نهائيًا من الأرقام للتحقق منها، لذلك لا يساعدنا حقًا في سعينا للعثور على دليل.

إحدى المشاكل هي أن الأرقام لا تتصرف بطريقة منظمة. إذا بدأنا بالرقم 1، نكون قد انتهينا. مقابل 2، نقسمها إلى النصف وننتهي. لكن بالنسبة للرقم 3، سلسلة الأرقام هي: 10، 5، 16، 8، 4، 2، 1. وبالنسبة للرقم 7، فهي كالتالي: 22، 11، 34، 17، 52، 26، 13، 40، 20، 10، 5، 16، 8، 4، 2، 1. قد تلاحظ أن سلسلة الرقم 7 تحتوي على سلسلة الرقم 3، و هذا جانب مثير للاهتمام في Collatz – بمجرد وصولك إلى رقم تم التحقق منه مسبقًا، فلن تحتاج إلى التحقق منه مرة أخرى، لأنك تعرف بالفعل أين تنتهي السلسلة.

كل هذا يجعل هذه المشكلة تثير اهتمام علماء الرياضيات. أتذكر اقتباسًا من مدونة الويب الرائعة xkcd: “هناك نوع معين من الدماغ يمكن تعطيله بسهولة. إذا عرضت عليه مشكلة مثيرة للاهتمام، فإنه يتخلى عن كل شيء آخر بشكل لا إرادي للعمل عليه.” وبالفعل، مع انتشار ميم كولاتز، فإن هذا هو بالضبط ما حدث.

تعريف المجهول

إن تحديد أصل حدسية كولاتز أمر صعب بشكل مدهش، على الرغم من أنه ليس بنفس صعوبة العثور على دليل. وفي رسالة عام 1980، كتب كولاتز أنه بدأ التحقيق في الأمر “منذ 50 عامًا تقريبًا”. ويبدو أنه احتفظ بهذا التخمين لنفسه لسنوات عديدة، وربما اعتبره مجرد فضول خامل. ولم تبدأ في الانتشار على نطاق أوسع حتى عام 1950، عندما ذهب كولاتز إلى المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات – وهو أكبر اجتماع في هذا المجال – وتحدث بشكل غير رسمي حول المشكلة مع الحاضرين الآخرين.

ومن هناك انتشرت عبر الشبكات الرياضية، ويبدو أنه تم إعادة اكتشافها وإعادة تسميتها من قبل علماء رياضيات آخرين، تحت أسماء عديدة، مثل مشكلة سيراكيوز، أو خوارزمية هاس، أو حتى مشكلة 3x+1 فقط. وفقًا لجيفري لاجارياس، الذي قام بدراسة هذا التخمين على نطاق واسع، فإنه لم يظهر في المطبوعات حتى عام 1971، عندما تم وصفه بأنه “قطعة من القيل والقال الرياضي”، لكنه وصل بالفعل إلى الدوريات الكبرى بعد عام، عندما كتب مارتن جاردنر عنه في عمود الألعاب الرياضية الخاص به. العلمية الأمريكية. إذا لم تقابله من قبل، فإن غاردنر هو شخصية أسطورية في مجال “الرياضيات الترفيهية” – وهي في الأساس أشياء ينظر إليها علماء الرياضيات الجادون بازدراء، بينما يستمتعون بها سرًا مع محبي الرياضيات الآخرين.

استمر حدسية كولاتز في تجاوز الخط الفاصل بين الرياضيات الترفيهية والرياضيات البحثية لفترة من الوقت حتى الآن. لقد استمتعت بالعثور على مقالة نشرت عام 1983 بعنوان “لا تحاول حل هذه المشكلات”، والتي تسرد هذا التخمين، إلى جانب تخمينات أخرى، تحذر علماء الرياضيات من الابتعاد عنهم بينما يعلمون أنهم سوف يستسلمون حتماً للإغراء.

إحدى النتائج الكبيرة الأولى جاءت في عام 1976، عندما أثبت فريق ريو تيراس نتيجة مهمة. ستلاحظ أنه إذا بدأت برقم زوجي، فإن سلسلة Collatz الخاصة بك تنخفض دائمًا تحت رقم البداية هذا لأن خطوتك الأولى هي خفضه إلى النصف. ومع ذلك، إذا بدأت برقم فردي، فإن محطتك الأولى تتجاوز رقم البداية – لذلك يصبح السؤال، كم من الوقت حتى تعود مرة أخرى إلى ما دون نقطة البداية، على أمل أن تكون في طريقك إلى 1؟ أطلق تيراس على هذا اسم “وقت التوقف” لعدد ما، وأثبت أنه في جميع الحالات تقريبًا، يكون وقت التوقف محدودًا – مما يعني أن الأرقام تنخفض في النهاية، بدلاً من أن ترتفع إلى الأبد.

هذا لا يكفي لإثبات حدسية كولاتز، حيث أن مجرد مثال مضاد واحد لعدد كبير لا يمكن تصوره والذي لا يصل أبدًا إلى 1 سيكون كافيًا لدحضه. كما أنها غير دقيقة إلى حد غير مرض ــ ماذا تعني عبارة “الكل تقريباً” عند التعامل مع الاحتمالات اللانهائية؟ سيأتي المزيد من الدقة في عام 2002، عندما أثبت إيليا كراسيكوف ولاجارياس أنه بالنسبة لعدد معين x، على الأقل x^0.84 الأرقام الموجودة تحتها ستصل في النهاية إلى 1. هذا أمر مربك بعض الشيء – على سبيل المثال، إذا أخذنا x كـ 100، فهذا يعني أن 47 رقمًا على الأقل أقل من 100 ستصل إلى 1. في الواقع، نحن نعلم أن كل رقم أقل من 100 يصل إلى 1، لكن ما يفعله الدليل هو وضع سقف واضح على مجاهيل كولاتز.

جاء أكبر إنجاز في عام 2019، عندما قرر تيرينس تاو، الذي يمكن القول إنه أعظم عالم رياضيات حي في العالم، أن يكون لديه حل لهذه المشكلة سيئة السمعة. لقد أثبت نسخة أقوى بكثير من نتيجة تيراس، موضحًا أن ليس فقط جميع الأرقام “تقريبًا” تنخفض في النهاية إلى ما دون نقطة البداية، ولكن يمكنك فعليًا أن تجعلها منخفضة كما تريد. يبدو هذا قريبًا جدًا من إثبات حدسية كولاتز – باستثناء أنه، إلى حد ما، ليس أقرب، لأن هناك دائمًا احتمال وجود مثال مضاد كامن في أقصى خط الأعداد.

إذًا، ما هي الخطوة التالية بالنسبة لحدسية كولاتز؟ بينما كنت أكتب هذا العمود، ظهرت أخبار مفادها أن OpenAI استخدمت نموذجًا لغويًا كبيرًا لحل مشكلة كبيرة حيرت علماء الرياضيات لمدة 80 عامًا. ولم تفعل ذلك من خلال إثبات صحتها، ولكن من خلال العثور على مثال مضاد غير متوقع. هل يمكن أن يحدث نفس الشيء مع كولاتز؟ لن أجرؤ على التنبؤ في هذه المرحلة، ولكن سيكون من المفارقة بالتأكيد أن يتم حل المشكلة التي أصابت الكثير من العقول البشرية بواسطة الذكاء الاصطناعي.