لقد ترجم الفيزيائيون نظرية العقد إلى لغة مفهومة

القصة وراء هذا العمل متجذرة في طبيعة الفضاء. العقد – وهي منحنيات مغلقة متشابكة في فضاء ثلاثي الأبعاد بحيث لا يمكن حلها دون قطعها – شغلت علماء الرياضيات منذ زمن اللورد كلفن، الذي اقترح في القرن التاسع عشر أن الذرات عبارة عن عقد في الأثير. لقد أصبحت الفرضية الأثيرية شيئًا من الماضي، لكن نظرية العقد ازدهرت كفرع مستقل من الطوبولوجيا. المهمة المركزية لهذه النظرية هي تعلم كيفية التمييز بين عقدة وأخرى، ولهذا السبب يخترع علماء الرياضيات الثوابت: تعبيرات جبرية تظل دون تغيير تحت أي تشوهات في العقدة لا تؤثر على جوهرها الطوبولوجي. أشهر الثوابت متعددة الحدود هي متعددة الحدود لجونز، التي تم اكتشافها في عام 1984 ومنح مؤلفها وسام فيلدز. ولكن الأكثر قوة كان متعدد الحدود HOMFLY، الذي سمي على اسم الأحرف الأولى من ألقاب مكتشفيه الستة المستقلين: هوست، أوكنينو، ميليت، فريد، ليكوريش، يتر. يوحد هذا الثابت عائلة كاملة من متعددات الحدود الكمية المرتبطة بمجموعات التناظر SU(n)، ويحتوي على متعدد حدود جونز كحالة خاصة لـ n = 2. تحدد كل قيمة لـ n ثابتًا خاصًا بها، ما يسمى متعدد الحدود sl(n)، ويقوم متعدد الحدود HOMFLY بتشفيرها جميعًا مرة واحدة. العقد الرياضية هي أشياء من نظرية العقد، التي تكمن وراء الثوابت الطوبولوجية / © Quanta Magazine تم الكشف عن المعنى المادي لهذه الأشياء الرياضية الجميلة في أواخر الثمانينات بفضل عمل إدوارد ويتن الحائز على ميدالية فيلدز. اتضح أن كثيرات حدود HOMFLY تنشأ بشكل طبيعي في نظرية تشيرن سيمونز ثلاثية الأبعاد، وهي نظرية المجال الكمي التي تصف سلوك حقول القياس في ثلاثة أبعاد. كثيرات حدود HOMFLY ليست أكثر من متوسط ​​قيم حلقات ويلسون – وهي خطوط محيطية مغلقة يتم من خلالها “استكشاف” مجال القياس مع مجموعة القياس SU(n). وتبين أن نظرية تشيرن سيمونز، بدورها، مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بنظرية الأوتار، وفي النهاية، بنظرية إم الافتراضية، التي تدعي أنها نظرية موحدة لجميع التفاعلات الأساسية للطبيعة. في أوائل العقد الأول من القرن الحادي والعشرين، أصبح من الواضح أن الثوابت متعددة الحدود هي مجرد ظل لواقع أعمق. حقق ميخائيل خوفانوف تقدمًا كبيرًا في عام 1999: فقد أظهر أن كثيرة حدود جونز يمكن “تصنيفها”، أي أنه من الممكن استرداد منها ليس فقط رقمًا أو كثيرة حدود، بل مساحة متدرجة كاملة، وهو علم مشترك، تُرجع خاصية أويلر الخاصة به كثير الحدود الأصلي. ترتبط الثوابت متعددة الحدود وتصنيفاتها تقريبًا مثل الظل ثنائي الأبعاد لجسم ما والجسم ثلاثي الأبعاد نفسه. وسرعان ما قام خوفانوف، جنبًا إلى جنب مع ليف روزانسكي، بتعميم هذا البناء على متعدد الحدود HOMFLY بأكمله، مما أدى إلى إنشاء ما يسمى بعلم تجانس خوفانوف-روزانسكي – وهو أحد أغنى الهياكل وأكثرها تعقيدًا في الفيزياء الرياضية الحديثة، وهي نظرية متدرجة ثلاثية تحتوي على جميع تماثلات sl(n) كحالات خاصة. إن اهتمام الفيزيائيين بالتصنيف ليس مصادفة ولا يمكن اختزاله في الجماليات. إذا كانت كثيرات حدود HOMFLY مرتبطة بنظرية تشيرن سيمونز ثلاثية الأبعاد، فإن علم تجانس خوفانوف-روزانسكي، وفقًا لفرضيات ويتن وجوكوف، يجب أن يعكس الفيزياء في أربعة وخمسة وحتى ستة أبعاد – نفس الفيزياء التي تحكمها نظرية إم. إن الانتقال من كثيرات الحدود إلى علم التجانس هو محاولة لالتقاط “صدى” الأبعاد الأعلى التي تخترق الواقع ثلاثي الأبعاد. ومع ذلك، نشأت هنا مشكلة عملية خطيرة: اللغة التي كُتب بها علم التشابه بين خوفانوف وروزانسكي هي لغة الجبر المتماثل. المجمعات، وخرائط السلسلة، والأشكال، والتسلسلات الدقيقة، والتسلسلات الطيفية – كل هذا يعمل بشكل رائع في أيدي علماء الطوبولوجيا الجبرية، ولكن من الصعب الحدس الفيزيائي، وغير مناسب للحسابات واسعة النطاق ولا يسمح تقريبًا باستخدام الأساليب الفيزيائية القياسية – التكامل الوظيفي، ونظرية الاضطراب، والتناظر الفائق. هذه هي بالضبط المشكلة التي حلها مؤلفو العمل الجديد. واقترحوا طريقة “لرفع” شكلية ريشيتيخين-تورايف المعروفة – وهي أداة قياسية لبناء الثوابت الطوبولوجية في نظرية تشيرن-سايمونز، التي تربط الأشياء الجبرية بمكونات المخططات الارتباطية – إلى مستوى تجانس خوفانوف-روزانسكي. الفكرة الأساسية هي ربط كل مخطط ارتباط L بمشغل تفاضلي OL يعمل على مساحة الوظائف اعتمادًا على متغيرات Grassmann العادية الزوجية (البوزونية) والفردية (الفرميون). تم نشر المقال في مجلة Physical Review D. متغيرات غراسمان هي كائنات رياضية تخضع لقاعدة مكافحة التبادلية: عندما يتم تبادل متغيرين من هذا القبيل، تتغير علامة النتيجة. في نظرية المجال الكمي، هذه هي المتغيرات التي تصف الفرميونات – الإلكترونات والكواركات والجسيمات الأخرى التي تشكل المادة وتطيع مبدأ استبعاد باولي. إن استخدام المتغيرات الفرميونية هنا ليس مجرد نزوة، بل ضرورة: فالطبيعة الفردية (الفرميونية) للمشغلين تضمن خاصيتهم الرئيسية – عدم القدرة. من الخصائص الرائعة للعوامل المبنية ما يلي: بالنسبة لمخططات الارتباط المغلقة، يختفي مربع العامل – OL² = 0. للوهلة الأولى قد يبدو هذا تافهًا، ولكن بالنسبة لعالم الرياضيات والفيزياء، فإن مثل هذه المساواة تعتبر منجم ذهب. هذا يعني أن المشغل هو تفاضلي، ومن الممكن بناء علم مشترك – للعثور على أوضاع صفرية للمشغل، أي تلك الوظائف التي يدمرها المشغل، ولكنها في حد ذاتها ليست صورًا لوظائف أخرى تحت تأثير نفس المشغل. إن هذه التماثلات – مساحات من الأوضاع الصفرية – هي التي تعطي ثوابت العقد والروابط المستقرة لما يسمى بحركات Reidemeister. حركات Reidemeister هي ثلاثة أنواع من التشوهات الأولية لمخطط العقدة المستوية (إضافة أو إزالة حلقة، وإلقاء قوس فوق الآخر، ونقل قوس عبر تقاطع)، والتي تغير مظهر المخطط دون تغيير العقدة نفسها. يمكن ترجمة أي مخططين لنفس العقدة إلى بعضهما البعض من خلال تسلسل محدود من هذه الحركات، وبالتالي فإن الثبات بالنسبة لهما هو المعيار الذهبي لأي ثابت طوبولوجي. لإنشاء عوامل تشغيل عند القمم (التقاطعات) الفردية للمخططات، استخدم المؤلفون تقنية تحليل المصفوفات – وهي أداة جبرية قوية تعود إلى أعمال خوفانوف وروزانسكي نفسه. تحليل المصفوفة هو تحلل إمكانات معينة إلى منتج كتلتين من المصفوفات، كل منهما بمثابة “نصف التفاضل”. تتيح لك هذه التقنية إنشاء عامل تشغيل محليًا، عند كل تقاطع في المخطط، ثم تجميع عامل تشغيل عالمي من كتل محلية، على غرار الطريقة التي يجمع بها الفيزيائي سعة التشتت من مخططات فاينمان. تحافظ شكلية التحليل التي طورها المؤلفون على ثبات Reidemeister في كل مرحلة – وبعبارة أخرى، لا يتم انتهاك التماثل الطوبولوجي للمشكلة بواسطة أي حساب وسيط، وهو أمر بعيد عن الوضوح ويتطلب جهدًا كبيرًا. من المهم بشكل خاص أن هذا النهج لا يعمل فقط مع المخططات المغلقة – العقد والروابط، ولكن أيضًا مع ما يسمى بالتشابكات ذات الأطراف المفتوحة. يمكن اعتبار الكرة جزءًا من عقدة تبرز منها خيوط مفتوحة. من وجهة نظر الفيزيائي، يعد هذا نظيرًا مباشرًا للتشتت: فالمخططات المغلقة تتوافق مع اتساع الفراغ، والتشابكات تتوافق مع وظائف الارتباط مع الأرجل الخارجية، والتي تُستخرج منها جميع المعلومات الفيزيائية. بالنسبة للتشابك، لم يعد مربع العامل يساوي الصفر، لكن شكلية التحليل لا تزال تسمح للمرء بتحديد الثوابت بشكل صحيح وبناء نظرية متسقة. يعد هذا تحسنًا كبيرًا مقارنة بالأساليب السابقة، والتي كانت تقتصر عادةً على الكائنات المغلقة ولا يمكنها العمل مع أجزاء المخطط. علقت إيلينا لانينا، طالبة دراسات عليا في MIPT: “ظل علم التجانس خوفانوف-روزانسكي لفترة طويلة مجالًا لعلماء الرياضيات البحتة – وهو مجال كان على الفيزيائيين اختراقه مسلحين بلغة أجنبية. لقد أظهرنا أنه يمكن وصفهم بمصطلحات طبيعية للفيزياء: من خلال العوامل التفاضلية وأنماطها الصفرية، من خلال تناظر BRST. هذه ليست مجرد إعادة صياغة: لغة المشغل تسمح لك باستخدام القوة الكاملة للطرق الفيزيائية – نظرية الاضطراب، التناظر الفائق، التكامل الوظيفي – للمسائل التي تم حلها سابقًا حصريًا عن طريق الجبر المتماثل.” يتم تحديد حداثة العمل من خلال عدة ظروف. في البداية، كان المؤلفون أول من قام ببناء تنفيذ مشغل كامل لعلم التجانس خوفانوف-روزانسكي، بما في ذلك حالة الملفات المفتوحة. المحاولات السابقة لربط هذه التجانسات بالشكليات الفيزيائية – من خلال نظريات المجال الكمي الطوبولوجي (TQFTs) – كانت إما مقتصرة على حالات خاصة (على سبيل المثال، تماثل خوفانوف sl(2))، أو فقدت الثبات الطوبولوجي في المراحل المتوسطة من الحساب. بالإضافة إلى ذلك، تعود لغة مشغلي BRST المستخدمة في العمل إلى إحدى الأدوات الأساسية لنظرية المجال الكمي – وهي إجراء تكميم الأنظمة باستخدام مقياس التناظر، الذي اقترحه بيكي، وروه، وستورا، وتيوتين في السبعينيات. أصبح الاختصار BRST، المكون من ألقابهم، اسمًا مألوفًا: يتغلغل تناظر BRST في جميع الفيزياء النظرية الحديثة، بدءًا من النموذج القياسي وحتى نظرية الأوتار الفائقة. إن نقل هذه اللغة القوية إلى منطقة نظرية العقدة يدل على الوحدة العميقة التي تربط مجالات الرياضيات والفيزياء التي تبدو بعيدة. يرتبط علم تجانس خوفانوف-روزانسكي ارتباطًا وثيقًا بعدد من مجالات العلوم الحديثة التي تتطور بشكل نشط: من نظرية المتشعبات منخفضة الأبعاد والهندسة الجبرية إلى الحوسبة الكمومية. واحدة من أكثر الروابط إثارة للاهتمام هي الحواسيب الكمومية الطوبولوجية، حيث تلعب العقد والروابط دور العمليات الحسابية الأولية. إن نسج خطوط عالمية شبه جسيمية أنيونية في أنظمة ثنائية الأبعاد يطبق بوابات كمومية متسامحة مع الأخطاء. تحدد ثوابت العقدة نتيجة الحساب بشكل مباشر. قد تكون شكلية المشغل التي اقترحها العلماء الروس هي المفتاح للنمذجة النظرية الفعالة لمثل هذه الأنظمة، حيث يمكن تنفيذ العوامل التفاضلية عدديًا بشكل أكثر بساطة من الإنشاءات المجردة للجبر المتماثل. بالإضافة إلى ذلك، فإن التقنية التي تم تطويرها في العمل قابلة للتطبيق على فئة واسعة من المشكلات التي تتجاوز نظرية تشيرن سيمونز – حيثما تنشأ نظريات مجال الكم الطوبولوجي ذات البنية الكوكومولوجية، بما في ذلك نماذج روزانسكي-فيتن، ونظريات التناظر الفائق الملتوية طوبولوجيًا، وتناظر المرآة. رسم تخطيطي للكمبيوتر الكمي الطوبولوجي: نسج الخطوط العالمية لشبه الجسيمات والأنيون ينفذ بوابات كمومية متسامحة مع الأخطاء. تحدد ثوابت العقدة نتيجة العمليات الحسابية / © الكمبيوتر الكمي الطوبولوجي، تخلق شكلية مشغل ويكيبيديا المتطلبات الأساسية لتطوير خوارزميات الكمبيوتر لحساب علم التماثل خوفانوف-روزانسكي. إن حقيقة وجود المشغل “الرفع” تدعم الفرضية طويلة الأمد القائلة بأن وراء تجانس خوفانوف-روزانسكي تكمن نظرية فيزيائية كاملة في الأبعاد الأعلى، وربما نفس نظرية M، التي ظل المنظرون يحاولون تمييز معالمها لأكثر من ثلاثة عقود.