خدعة الرياضيات المخادعة لحل المسائل دون الإجابة عليها

تفتح عالمة الرياضيات باب مكتبها لتجد حريقًا صغيرًا. وبدون ذعر، نظرت حول الغرفة ووجدت طفاية حريق. “آه، الحل موجود!” تقول قبل أن تغلق الباب وتكمل يومها. إن مجرد معرفة أنه من الممكن إطفاء الحريق هو دليل كافٍ على أن المشكلة يمكن حلها – فلماذا تهتم فعليًا بتنفيذ الاقتراحات للقيام بذلك؟ تلخص هذه النكتة القديمة كيف يتم إنجاز الكثير من الرياضيات الحديثة، وذلك بفضل تكتيك خادع لحل المشكلات: البرهان غير البناء.

إنها فكرة صعبة الفهم، لذا إليك مثال غير رياضي في الغالب. لنفترض أن هناك 367 شخصًا في الغرفة – ما احتمال أن يشترك اثنان منهم في تاريخ الميلاد؟ الجواب هو 100%، لأنه (بافتراض أننا نأخذ في الاعتبار السنوات الكبيسة) لا يوجد سوى 366 تاريخ ميلاد محتمل، ويجب أن يكون لكل شخص تاريخ ميلاد، لذلك يجب أن يكون لدى شخصين على الأقل نفس تاريخ الميلاد. هذا مثال لما يسميه علماء الرياضيات “مبدأ الحمام” – الناس هم الحمام، والثقوب هي أعياد الميلاد – وهي طريقة كلاسيكية للتعامل مع البراهين غير البناءة. نحن نعلم أنه يجب أن يشترك شخصان في تاريخ الميلاد، حتى لو لم تكن لدينا أي فكرة عن هويتهما من بين 367 شخصًا.

تقليديا، كانت البراهين عكس ذلك تماما. إذا أثبتت شيئًا ما، فعادةً ما تكون قد أمسكت بشيء رياضي ملموس وعرضته على الجميع ليراه. بدأ كل هذا يتغير في القرن التاسع عشر، عندما أصبحت البراهين غير البناءة أداة أكثر قوة وشعبية في ترسانة علماء الرياضيات. وفي طليعة هذه الطريقة الجديدة لممارسة الرياضيات كان ديفيد هيلبرت، أحد علماء الرياضيات العظماء في عصره، وعلى الأقل في نظر البعض، مثير للمشاكل.

المشكلة التي كان هيلبرت يحقق فيها هي مشكلة معقدة وتتطلب القليل من إعداد الجدول. لنبدأ بالتفكير في المربع. يمكنك تدوير مربع بمقدار 90 درجة وينتهي به الأمر بنفس الشكل – ربما تكون على دراية بهذا الذي يسمى التناظر الدوراني. هناك طريقة أخرى لوصف ذلك وهي أن المربع “ثابت” عند دورانه بزاوية 90 درجة.

كان هيلبرت مهتمًا بالثوابت، وليس بالأشياء الهندسية مثل المربعات، بل بالأشياء الجبرية مثل المعادلات. بالنسبة لفئة معينة من الأشياء الجبرية، أدرك علماء الرياضيات أن هناك عددًا لا حصر له من الثوابت. ثم أصبح السؤال: كم العدد الذي تحتاجه بالفعل؟ هل يمكنك البدء بعدد قليل من الثوابت الرئيسية واستخدامها لبناء أي متغير آخر تفضله؟ لم يكن هيلبرت أول شخص يتولى تحديد “مجموعة توليد” للثوابت – فقد أمضى عالم رياضيات آخر، وهو بول جوردان، حياته المهنية بأكملها في التحقيق في هذا الأمر. اكتشف جوردان مجموعات توليد محدودة لعدد قليل من الأشياء، لكن برهانه كان فوضويًا ومعقدًا. لقد اندهش حينئذ عندما جاء هيلبرت في عام 1888 وأثبت أن ذلك صحيح بالنسبة لفئة أكبر بكثير من الأشياء الجبرية – دون أن يحدد في الواقع تكوين مجموعات التوليد. لقد فعل ذلك من خلال الافتراض أولاً أن هناك ثابتًا لا يمكن إنتاجه بواسطة مجموعة توليد، ثم أظهر أن هذا سيؤدي إلى إنشاء تيار لا نهائي من المزيد من الثوابت بطريقة لا تسمح بها القواعد الجبرية التي كان هيلبرت يعمل بها – وهو تناقض منطقي. الطريقة الوحيدة لحل هذا التناقض هي أن مجموعة التوليد يجب أن تكون موجودة دائمًا.

كان رد فعل جوردان على هذا الدليل غير البناء سلبيًا في البداية. قال: “هذه ليست رياضيات، بل هو علم اللاهوت”، مذعوراً من أن يطلب منه هيلبرت الإيمان بوجود مجموعة توليد دون توفيرها – ومن المؤكد أن هذا لا يعتبر إجابة؟ ومع ذلك، توصل جوردان إلى طريقة تفكير هيلبرت، وقال لاحقًا إن “اللاهوت له مزاياه”.

معارك هيلبرت لم تنته بعد. تمامًا كما كان شابًا مغرورًا يتحدى جوردان، فقد جاء أيضًا شاب مغرور أصغر سنًا وهو LEJ Brouwer. أمضى هيلبرت بضعة عقود في بناء الفلسفة الرياضية الشكلية، والتي تتبنى بشكل أساسي وجهة نظر مفادها أن الرياضيات هي لعبة معالجة الرموز بطريقة منطقية لإنتاج البراهين، دون الاهتمام كثيرًا بالعالم الحقيقي أو الأشياء الرياضية التي قد تتوافق معها تلك الرموز. بالنسبة إلى الشكليين، فإن الدليل غير البناء هو ببساطة إحدى الطرق العديدة للفوز باللعبة.

كره بروير هذه الفكرة. كانت فلسفته هي الحدس، الذي يرى أن الرياضيات هي من صنع العقل البشري. لقد رفض التلاعب بالرموز باعتباره النشاط الأساسي للرياضيات، واعتبرها مجرد وسيلة لنقل الفكر من عالم رياضيات إلى آخر. من وجهة النظر هذه، يعتبر الدليل غير البناء بمثابة غش. لكي يكون الشيء الرياضي حقيقيًا، يجب أن تكون قادرًا على بنائه في عقلك.

المكان الذي تتصادم فيه هاتان الفلسفتان حقًا هو ما يسمى بقانون الوسط المستبعد. هذا مبدأ منطقي قديم ينص على أنه بالنسبة لكل قضية منطقية، إما أن تكون هذه القضية صحيحة أو أن يكون نفيها صحيحًا. بمعنى آخر، إذا قلت: “كان هيلبرت قطًا”، فإما أن يكون ذلك صحيحًا أو أن هيلبرت لم يكن قطًا (وهذا الأخير، لتجنب الشك).

قد يبدو هذا واضحا، ولكن تبين أنه أداة رياضية مفيدة. في برهان هيلبرت عام 1888، افترض أنه «لا يمكن إنتاج جميع الثوابت بواسطة مجموعة توليد محدودة» ووجد تناقضًا، مما جعل هذا الافتراض خاطئًا. بموجب قانون الوسط المستبعد، يجب أن يكون “جميع الثوابت يمكن إنتاجها بواسطة مجموعة توليد محدودة” صحيحًا، حتى بدون توضيح كيفية بناء مثل هذه المجموعة.

كان اعتراض بروير هو تطبيق قانون الوسط المستبعد على مجموعة لا نهائية من الأشياء، كما كان يفعل هيلبرت. ولم تكن لديه مشكلة في استخدامه مع مجموعات محدودة، لأنه، من حيث المبدأ، يمكنك التحقق من كل كائن في المجموعة وإقناع نفسك بأن لديهم أو لا يمتلكون خاصية معينة. ولكن بالنسبة للمجموعات اللانهائية، لا يمكن القيام بذلك.

اعتقد هيلبرت أن هذا أمر مثير للسخرية، حيث قارن القيود المفروضة على قانون الوسط المستبعد بـ “منع الملاكم من استخدام قبضتيه”. وأشار بروير بدوره إلى هيلبرت بأنه “عدوي”. وكانت هذه مشكلة، لأن كلا الرجلين عملا على ذلك الرياضيات أنالين، آنذاك واليوم واحدة من أهم المجلات في الرياضيات. كان هيلبرت واحدًا من ثلاثة محررين، إلى جانب ألبرت أينشتاين، بينما كان بروير عضوًا في هيئة التحرير. كان هيلبرت غاضبًا جدًا من تأثير بروير على المجلة لدرجة أنه في عام 1928 قام بطرد هيئة التحرير بأكملها للتخلص منه. رداً على ذلك، استقال أينشتاين من منصبه أيضاً، متسائلاً: “ما هذه المعركة بين الضفدع والفأر بين علماء الرياضيات؟”

ومن الناحية العملية، كان أينشتاين على حق في رفض هذه الحجة. اليوم، عدد قليل جدًا من علماء الرياضيات يهتمون بفلسفة واضحة، والأغلبية العظمى منهم سعداء باستخدام البراهين غير البناءة كأداة مفيدة. يمكنك القول أن هذا يعني فوز هيلبرت، ومن المؤكد أن بروير أصبح شخصية معزولة بشكل متزايد وغير ذات أهمية بعد إقالته من منصبه. الرياضيات أنالين. ولكن كما كتبت سابقًا، فإن شكلية هيلبرت ستتلقى قريبًا ضربة قاتلة على يد كورت جودل، الذي أظهرت نظرية عدم الاكتمال أن لعبة التلاعب بالرموز لا يمكن أبدًا أن تكون متسقة تمامًا. لم يكن جودل حدسيًا – في الواقع، تعتمد نظرية الاكتمال التي وضعها، والتي كانت مقدمة لنظرية عدم الاكتمال، على قانون الوسط المستبعد – لكنه استلهم من بروير في معركته ضد هيلبرت.

أصبحت أفكار جودل وبروير فيما بعد مهمة في علوم الكمبيوتر، حيث ساهمت في إثراء عمل آلان تورينج والأسئلة حول المشكلات القابلة للحساب. واليوم، تعود مثل هذه الأفكار إلى الموضة مع تحول علماء الرياضيات إلى الذكاء الاصطناعي والتحقق الرسمي من الإثبات، حيث يجب جعل كل خطوة من الإثبات قابلة للقراءة آليًا للتحقق من صحتها. وهذا بدوره قد يؤدي يومًا ما إلى دليل غير بناء، يتم التحقق من صحته منطقيًا، ومع ذلك لا يفهمه علماء الرياضيات تمامًا لأنه تم إنشاؤه بواسطة الذكاء الاصطناعي الذي لا يمكنه تفسيره للعقول البشرية. إذا حدث ذلك، فسوف يضحك بروير أخيرًا.